Cette capsule a pour but de
vous proposer différentes étapes
à suivre pour analyser le mouvement d'un projectile. Les équations
fondamentales suivantes doivent constituer votre point de départ.
(1)
x = xo + vxo t
(2) y
= yo + vyo t - ½ g t2
(3) vy
= vyo - g t
Les exercices les plus «
faciles » sont ceux dont toutes les conditions initiales sont
connues, l'exercices 4.1 en est un exemple. Les conditions initiales
sont
xo, yo,
vxo, et vyo.
Les composantes rectangulaires de la vitesse
initiale peuvent s'exprimer en fonction du module et de l'angle de celle-ci.
vxo = vo
cos qo
vyo = vo
sin qo
Voici les étapes proposées pour
solutionner les exercices concernant le mouvement d'un projectile.
-
Suite à une première
lecture de l'énoncé, déterminez quelles sont les conditions initiales
connues. Si les conditions initiales sont toutes connues, vous devriez
être en mesure de répondre aux questions posées concernant le
mouvement de ce projectile en utilisant les trois équations inscrites
plus haut.
-
Lorsque les conditions
initiales ne sont pas toutes connues, on doit vous donner de
l'information concernant l'état ultérieur (ou antérieur) du
projectile. Par exemple, on peut vous donner sa hauteur maximale
atteinte, ou encore sa portée horizontale ou sa position à un instant
donné. Ses informations placées dans les trois équations inscrites
plus haut (dans lesquelles se trouvent les conditions initiales connues)
devraient vous permettre de trouver les conditions initiales manquantes.
-
Maintenant que vous avez
toutes les conditions initiales du mouvement, vous devriez être en
mesure de répondre à toutes les questions posées.
Les trois exemples qui suivent
vont tenter d'illustrer la méthode.
Exemple 1
Un projectile est lancé d'une
hauteur de 20 m avec une vitesse initiale orientée à 30° au-dessus de
l'horizontale. Si la hauteur maximale atteinte est de 45 m, quelle sera la
portée horizontale du tir (le projectile retombe au sol)?
les conditions initiales connues
sont
xo = 0, yo=
20 m, vxo = vo cos 30° et vyo
= vo sin 30°
La condition initiale manquante
est le module de la vitesse initiale vo
. En remplaçant dans les équations (1), (2) et (3) les conditions
initiales connues, et sachant que lorsque y = 45, vy
= 0 (conditions ultérieurs données). On trouve, à l'aide des équations
(2) et (3) dans lesquelles vo et t sont les
inconnus, que vo = 44,3 m/s.
Les conditions initiales étant
maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où y = 0, x
= 203 m.
Exemple 2
Un projectile est lancé à
partir du sol. Deux secondes plus tard, sa vitesse est de 20 m/s et est
orientée à 30° au-dessus de
l'horizontale. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile?
les conditions initiales connues
sont
xo = 0, yo=
0 m et vxo = 20 cos 30° =
17,3 m/s (la composante en x de la vitesse est constante).
La condition initiale manquante
est vyo
. Nous savons que
lorsque t = 2 s, vy = 20 sin 30°
= 10. En utilisant l'équation (3) nous
trouvons que la composante vyo
= 29,6 m/s.
Les conditions initiales étant
maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où vy
= 0, y = ymax = 44,7 m.
Exemple 3
Un projectile est lancé à
partir du sol. Deux secondes plus tard, il se trouve 50 m plus loin à une
hauteur de 20 m. Quelle est la portée horizontale du projectile (il retombe
au sol)?
les conditions initiales connues
sont
xo = 0, yo=
0 m et vxo = 25
m/s (la composante en x de la vitesse est constante).
La condition initiale manquante
est vyo
. Nous savons que
lorsque t = 2 s, y = 20. En utilisant l'équation (2) nous
trouvons que la composante vyo
= 19,8 m/s.
Les conditions initiales étant
maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où y = 0 ( t = 4,04 s
), x = 101 m.
Exercice
Un projectile est lancé à
partir du sol. Lorsqu'il est à 10 m de hauteur, sa vitesse est de 30 m/s et
est orientée à 30° en-dessous de
l'horizontale. Quelle est sa position à t = 3,0 s?
réponses : x = 78 m
et y = 17,3 m.
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