Le mouvement des projectiles
Une méthode de résolution
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Cette capsule a pour but de vous proposer différentes étapes à suivre pour analyser le mouvement d'un projectile. Les équations fondamentales suivantes doivent constituer votre point de départ.

(1)  x = xo + vxo t

(2)  y = yo + vyo t - ½ g t2

(3)  vy = vyo - g t

Les exercices les plus « faciles » sont ceux dont toutes les conditions initiales sont connues, l'exercices 4.1 en est un exemple. Les conditions initiales sont

xo, yo, vxo, et vyo.

Les composantes rectangulaires de la vitesse initiale peuvent s'exprimer en fonction du module et de l'angle de celle-ci.

vxo = vo cos qo
vyo = vo sin qo

Voici les étapes proposées pour solutionner les exercices concernant le mouvement d'un projectile.

  • Suite à une première lecture de l'énoncé, déterminez quelles sont les conditions initiales connues. Si les conditions initiales sont toutes connues, vous devriez être en mesure de répondre aux questions posées concernant le mouvement de ce projectile en utilisant les trois équations inscrites plus haut.

  • Lorsque les conditions initiales ne sont pas toutes connues, on doit vous donner de l'information concernant l'état ultérieur (ou antérieur) du projectile. Par exemple, on peut vous donner sa hauteur maximale atteinte, ou encore sa portée horizontale ou sa position à un instant donné. Ses informations placées dans les trois équations inscrites plus haut (dans lesquelles se trouvent les conditions initiales connues) devraient vous permettre de trouver les conditions initiales manquantes.

  • Maintenant que vous avez toutes les conditions initiales du mouvement, vous devriez être en mesure de répondre à toutes les questions posées.

Les trois exemples qui suivent vont tenter d'illustrer la méthode.

Exemple 1

Un projectile est lancé d'une hauteur de 20 m avec une vitesse initiale orientée à 30° au-dessus de l'horizontale. Si la hauteur maximale atteinte est de 45 m, quelle sera la portée horizontale du tir (le projectile retombe au sol)?

les conditions initiales connues sont

xo = 0, yo= 20 m, vxovo cos 30° et vyovo sin 30° 

La condition initiale manquante est le module de la vitesse initiale vo . En remplaçant dans les équations (1), (2) et (3) les conditions initiales connues, et sachant que lorsque y = 45, vy = 0 (conditions ultérieurs données). On trouve, à l'aide des équations (2) et (3) dans lesquelles vo et t sont les inconnus, que vo = 44,3 m/s.

Les conditions initiales étant maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où y = 0, x = 203 m.

Exemple 2

Un projectile est lancé à partir du sol. Deux secondes plus tard, sa vitesse est de 20 m/s et est orientée à 30° au-dessus de l'horizontale. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile?

les conditions initiales connues sont

xo = 0, yo= 0 m et vxo =  20 cos 30° = 17,3 m/s (la composante en x de la vitesse est constante).

La condition initiale manquante est vyo . Nous savons que lorsque t = 2 s, vy = 20 sin 30° = 10. En utilisant l'équation (3) nous trouvons que la composante  vyo = 29,6 m/s.

Les conditions initiales étant maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où vy = 0, y = ymax = 44,7 m.

Exemple 3

Un projectile est lancé à partir du sol. Deux secondes plus tard, il se trouve 50 m plus loin à une hauteur de 20 m. Quelle est la portée horizontale du projectile (il retombe au sol)?

les conditions initiales connues sont

xo = 0, yo= 0 m et vxo = 25 m/s (la composante en x de la vitesse est constante).

La condition initiale manquante est vyo . Nous savons que lorsque t = 2 s, y = 20. En utilisant l'équation (2) nous trouvons que la composante  vyo = 19,8 m/s.

Les conditions initiales étant maintenant toutes connues, on trouve qu'à l'instant où y = 0 ( t = 4,04 s ), x = 101 m.

Exercice

Un projectile est lancé à partir du sol. Lorsqu'il est à 10 m de hauteur, sa vitesse est de 30 m/s et est orientée à 30° en-dessous de l'horizontale. Quelle est sa position à t = 3,0 s?

réponses : x = 78 m  et y = 17,3 m.

 

http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/profs/rfoy
(1998-2009) La physique en ligne